해석학
이중 급수

이중 급수

이 일지에서는 이중 급수에서 무한합의 순서를 바꿀 수 있는 조건에 대해 다룬다.

무한합의 순서를 바꿀 수 있는 조건 1 2

주어진 이중 복소수열 {aij}1≤i,j<∞\{a_{ij}\}_{1\le i,j< \infty}이

∑i=1∞(∑j=1∞∣aij∣)<∞\sum_{i=1}^\infty \left(\sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|\right) < \infty

을 만족하면 다음이 성립한다.

(1) 무한합의 순서를 바꿀 수 있다. 즉,

∑i=1∞(∑j=1∞aij)=∑j=1∞(∑i=1∞aij)=A\sum_{i=1}^\infty \left(\sum_{j=1}^\infty a_{ij}\right) = \sum_{j=1}^\infty \left(\sum_{i=1}^\infty a_{ij}\right) = A

이다.

(2) 덧셈의 순서를 임의로 바꿀 수 있다. 즉, 함수 k↦(i(k),j(k))k \mapsto (i(k),j(k))이 N\N 에서 N×N\N\times\N 으로의 일대일 대응이면

∑k=1∞ai(k)j(k)=A\sum_{k=1}^\infty a_{i(k)j(k)} = A

이다.

증명

(1) bi=∑j=1∞∣aij∣b_i = \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|이라 정의하고, 가산 집합 E={x0,x1,⋯ ,xn}E=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}이 xn→x0x_n \rightarrow x_0를 만족한다고 하자. 이제

fi(x0)=∑j=1∞aijfi(xn)=∑j=1naijg(x)=∑i=1∞fi(x)(x∈E)\begin{align*} f_i(x_0) &= \sum_{j=1}^\infty a_{ij} \\ f_i(x_n) &= \sum_{j=1}^n a_{ij} \\ g(x) &= \sum_{i=1}^\infty f_i(x) \quad (x \in E) \end{align*}

라고 정의하자. 수열 {aij}j\{a_{ij}\}_j이 절대수렴하므로 각 fif_i는 x0x_0에서 연속이다. 또한 x∈Ex \in E에 대해 ∣fi(x)∣≤bi|f_i(x)| \le b_i 이므로 ∑i=1∞fi(x)\sum_{i=1}^\infty f_i(x)는 균등수렴하고, 따라서 gg 또한 x0x_0에서 연속이다. 따라서

∑i=1∞∑j=1∞aij=∑i=1∞fi(x0)=g(x0)=lim⁡n→∞g(xn)=lim⁡n→∞∑i=1∞fi(xn)=lim⁡n→∞∑i=1∞∑j=1naij=lim⁡n→∞∑j=1n∑i=1∞aij=∑j=1∞∑i=1∞aij\begin{align*} \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} &= \sum_{i=1}^\infty f_i(x_0) = g(x_0) = \lim_{n\rightarrow \infty} g(x_n) \\ &= \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^\infty f_i(x_n) = \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^n a_{ij} \\ &= \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij} \end{align*}

이다.

(2) 다음 보조정리를 보자.

임의의 ϵ>0\epsilon>0에 대해 양의 정수 NN이 존재하여 모든 n,m>Nn,m>N에 대해 ∣A−∑i=1n∑j=1maij∣<ϵ\left| A-\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m a_{ij} \right| < \epsilon 이다.

이를 보이기 위해 다음 식을 관찰한다.

∣A−∑i=1n∑j=1maij∣≤∑i≤n∑j>m∣aij∣+∑i>n∑j=1∞∣aij∣\left|A-\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{ij}\right| \le \sum_{i\le n} \sum_{j>m} |a_{ij}| + \sum_{i> n} \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|

우변의 첫 번째 항은 ∑i≤n∑j>m∣aij∣≤∑i=1∞∑j>m∣aij∣\sum\limits_{i\le n} \sum\limits_{j>m} |a_{ij}| \le \sum\limits_{i=1}^\infty \sum\limits_{j>m} |a_{ij}| 인데, (1)에서의 논의에 의해 무한합의 순서를 바꿀 수 있다. 또한 ∑j=1∞∑i=1∞∣aij∣<∞\sum\limits_{j=1}^\infty \sum\limits_{i=1}^\infty |a_{ij}| < \infty 이므로 어떤 m0m_0가 존재하여 m>m0m>m_0이면 ∑j>m∑i=1∞∣aij∣<ϵ/2\sum\limits_{j>m} \sum\limits_{i=1}^\infty |a_{ij}| < \epsilon / 2 이다.

우변의 두 번째 항은 ∑i>nbi\sum\limits_{i\gt n} b_i와 같고, ∑ibi\sum\limits_i b_i가 수렴하므로 적당한 n0n_0가 존재하여 n>n0n>n_0이면 ∑i>n∑j=1∞∣aij∣<ϵ/2\sum\limits_{i\gt n} \sum\limits_{j=1}^\infty |a_{ij}| \lt \epsilon/2 임을 알 수 있다. N>max⁡(n0,m0)N > \max(n_0,m_0)을 택하면 보조정리의 증명이 끝난다.

이제 본 명제를 증명하자. 임의의 ϵ>0\epsilon >0이 주어졌다고 하자. 직사각형

R(n,m)={(i,j)∈N×N:1≤i≤n,1≤j≤m}R(n,m) = \{(i,j) \in \N \times \N : 1\le i \le n, 1\le j \le m\}

에 대해 어떤 ll이 존재하여 사상 k↦(i(k),j(k))k \mapsto (i(k),j(k))에 대한 [1,l][1,l]의 상은 R(n,m)R(n,m)을 포함한다. 삼각부등식에 의해

∣∑k=1lai(k)j(k)−A∣≤∣∑k=1lai(k)j(k)−∑i=1n∑j=1maij∣+∣∑i=1n∑j=1maij−A∣\left|\sum_{k=1}^l a_{i(k)j(k)}-A \right| \le \left| \sum_{k=1}^l a_{i(k)j(k)} - \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{ij} \right| + \left| \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{ij} - A\right|

이 성립한다. 우변의 첫 번째 항에서 절댓값 안에는 1≤i≤n,1≤j≤m1\le i\le n, 1\le j\le m인 aija_{ij}가 하나도 없다. 따라서 ∑i>n∑j>m∣aij∣\sum\limits_{i>n} \sum\limits_{j>m} |a_{ij}| 보다 작고, 이 값은 n,mn,m이 충분히 커지면 ϵ/2\epsilon/2 보다 작아진다. 우변의 두 번째 항은 보조정리에 의해 n,mn, m이 충분히 커지면 ϵ/2\epsilon/2 보다 작아진다. 따라서 ll을 충분히 크게 하면 ∣∑k=1lai(k)j(k)−A∣\left| \sum\limits_{k=1}^l a_{i(k)j(k)}-A \right|가 ϵ\epsilon 보다 작아지게 할 수 있다.

각 항이 0 이상인 경우 3

주어진 실수열 aija_{ij}이 모든 i,j∈Ni,j\in\N에 대해 aij≥0a_{ij} \ge 0이면

∑i=1∞∑j=1∞aij=∑j=1∞∑i=1∞aij\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}

이 성립한다.

증명

먼저 s=∑i∑jaijs=\sum\limits_i \sum\limits_j a_{ij} 가 수렴하는 경우를 생각하자. 그러면 각 ii에 대해 bi=∑j=1∞∣aij∣=∑j=1∞aijb_i = \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}| = \sum_{j=1}^\infty a_{ij} 이고 ∑ibi\sum\limits_i b_i가 수렴한다. 따라서 무한합의 순서를 바꿀 수 있고, 주어진 명제가 성립한다.

다음으로 s=∑i∑jaij=∞s =\sum\limits_i \sum\limits_j a_{ij}= \infty 인 경우를 보자. 임의의 M>0M>0에 대하여 ∑i=1n∑j=1ma_ij>M\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a\_{ij} > M를 만족하는 n,mn,m이 존재한다. 이제 ∑j=1n∑i=1ma_ij>M\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m a\_{ij} > M 이므로 ∑j∑iaij=∞\sum\limits_j \sum\limits_i a_{ij}= \infty 이다.

무한합의 순서를 바꿀 수 없는 예시 4

aija_{ij}가 다음과 같은 무한 행렬의 ii행 jj열 원소라고 하자.

−1000⋯1/2−100⋯1/41/2−10⋯1/81/41/2−1⋯⋮⋮⋮⋮⋱\begin{matrix*} -1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 1/2 & -1 & 0 & 0 & \cdots \\ 1/4 & 1/2 & -1 & 0 & \cdots \\ 1/8 & 1/4 & 1/2 & -1 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matrix*}

즉,

aij={0(i<j)−1(i=j)2j−i(i>j)a_{ij} = \begin{cases} 0 & (i<j) \\ -1 & (i=j) \\ 2^{j-i} & (i>j) \end{cases}

이다. 이 때

∑i=1∞∑j=1∞aij=−2,∑j=1∞∑i=1∞aij=0\begin{equation*} \begin{split} \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} &= -2, \\ \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij} &=0 \end{split} \end{equation*}

이 성립한다.

    1. Elias M. Stein, STEIN 복소해석학 (2022), 한빛수학교재연구소 역, pp.226-228 ↩︎
    1. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3rd Edition, 1976), pp.175-176 ↩︎
    1. Ibid., p.196 ↩︎
    1. Ibid. ↩︎
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